Problem DescriptionACboy has N courses this term, and he plans to spend at most M days on study.Of course,the profit he will gain from different course depending on the days he spend on it.How to arrange the M days for the N courses to maximize the profit? InputThe input consists of multiple data sets. A data set starts with a line containing two positive integers N and M, N is the number of courses, M is the days ACboy has.Next follow a matrix A[i][j], (1<=i<=N<=100,1<=j<=M<=100).A[i][j] indicates if ACboy spend j days on ith course he will get profit of value A[i][j].N = 0 and M = 0 ends the input. OutputFor each data set, your program should output a line which contains the number of the max profit ACboy will gain. Sample Input2 21 21 32 22 12 12 33 2 13 2 10 0 Sample Output346

 分组背包

问题

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。这些物品被划分为若干组，每组中的物品互相冲突，最多选一件。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

算法

这个问题变成了每组物品有若干种策略：是选择本组的某一件，还是一件都不选。也就是说设f[k][v]表示前k组物品花费费用v能取得的最大权值，则有：

f[k][v]=max{

f[k-1][v],f[k-1][v-c[i]]+w[i]|物品i属于组k}

 

使用一维数组的伪代码如下：

for 所有的组k

for v=V..0

for 所有的i属于组k

f[v]=max{ f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

注意这里的三层循环的顺序，甚至在本文的第一个beta版中我自己都写错了。“for v=V..0”这一层循环必须在“for 所有的i属于组k”之外。这样才能保证每一组内的物品最多只有一个会被添加到背包中。

另外，显然可以对每组内的物品应用（完全背包问题）中“一个简单有效的优化”。

小结

分组的背包问题将彼此互斥的若干物品称为一个组，这建立了一个很好的模型。不少背包问题的变形都可以转化为分组的背包问题（例如（有依赖的背包问题）），由分组的背包问题进一步可定义“泛化物品”的概念，十分有利于解题。

算法分析：

这是我第一次接触分组背包。

此题属于典型的分组背包，每组至多一个背包。

看了背包9讲，直接用他上面所写的套上去就行了，三重循环记住每一重的意义~！！！

代码如下：

#include 
      
       using namespace std;int a[101][101],f[101];int main(){    int n,m,i,j,k;    while(cin >> n >> m && (n != 0 || m != 0))    {        memset(f,0,sizeof(f));        for(i = 1; i <= n; i++)            for(j = 1; j <= m; j++)                cin >> a[i][j];        for(i = 1; i <= n; i++) //第一重循环：分组数            for(j = m; j >= 0; j--) //第二重循环：容量体积                for(k = 0; k <= j; k++) //第三重循环：属于i组的k                    f[j] = max(f[j],f[j-k]+a[i][k]);        cout << f[m] << endl;    }    return 0;}